Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2009 Nomor 1

Soal:

Sebuah persamaan kuadrat memiliki akar-akar bilangan asli a dan b. Persamaan kuadrat lainnya memiliki akar-akar b dan c dengan a ≠ c . Jika a, b, dan c merupakan bilangan-bilangan prima yang kurang dari 15, ada berapa macam pasangan yang mungkin memenuhi syarat tersebut (dengan syarat koefisien dari suku kuadratnya sama dengan 1)?

Pembahasan:

Misalkan pasangan persamaan kuadrat yang dimaksud adalah

x₁ – (a + b)x + ab = 0

x₂ – (b + c)x + bc = 0

dimana nilai dari a, b dan c adalah {2, 3, 5, 7, 11, 13} dengan a ≠ c

Langkah pertama kita mencari berapa banyak macam pasangn dari tiga bilangan tersebut tanpa syarat, kemudian dikurangi dengan banyaknya cara yang bersyarat, yakni:

1)        Mengatur banyaknya pasangan 3 bilangan dari 6 bilangan yang diketahui, yaitu: ₃P₆ = 120

2)        Kemudian mencari banyaknya pasangan 2 bilangan yang sama, yakni a = c, sehingga banyaknya pasangan 2 bilangan dari enam bilangan diketahui adalah ₂P₆ = 30

Dengan demikian banyaknya cara pasangan yang mungkin dengan tersebut adalah 120 – 30 = 90

Jadi, banyaknya pasangan yang mungkin memenuhi syarat tersebut adalah 90 pasang


-----------------
Pelajari juga: [Nomor 2], [Nomor 3]