Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2009 Nomor 2 (Disertai Solusi Alternatifnya)

Soal:

Di Indonesia, dahulu dikenal pecahan yang disebut “Pecahan Nusantara”. Pecahan  Nusantara adalah pecahan a/b demikian sehingga a dan b adalah bilangan-bilangan asli dan a < b . Tentukan jumlah semua pecahan nusantara mulai dari pecahan dengan b = 2 sampai dengan b = 1000.

Pembahasan:

Penjumlahan Pecahan Nusantara yang dimaksudkan oleh soal adalah sebagai berikut:

 Kemudian kita mencari pola penyelesaian dari penjumlahan pecahan tersebut, yaitu;

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2009 Nomor 1

Soal:

Sebuah persamaan kuadrat memiliki akar-akar bilangan asli a dan b. Persamaan kuadrat lainnya memiliki akar-akar b dan c dengan a ≠ c . Jika a, b, dan c merupakan bilangan-bilangan prima yang kurang dari 15, ada berapa macam pasangan yang mungkin memenuhi syarat tersebut (dengan syarat koefisien dari suku kuadratnya sama dengan 1)?

Pembahasan:

Misalkan pasangan persamaan kuadrat yang dimaksud adalah

x₁ – (a + b)x + ab = 0

x₂ – (b + c)x + bc = 0

dimana nilai dari a, b dan c adalah {2, 3, 5, 7, 11, 13} dengan a ≠ c