Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015 Nomor 1

Soal Nomor 1

Operasi * untuk himpunan bilangan S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} didefinisikan sesuai tabel di bawah ini

*	0	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6
2	0	2	4	6	1	3	5
3	0	3	6	2	5	1	4
4	0	4	1	5	2	6	3
5	0	5	3	1	6	4	2
6	0	6	5	4	3	2	1

Jika untuk setiap bilangan bulat n yang lebih besar dari pada 1 didefiniskan xⁿ = x^n-1 * x, maka 5²⁰¹⁵ = ....

A.      0

B.       1

C.       2

D.      3

Pembahasan: D

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

setiap bilangan bulat n yang lebih besar dari pada 1 didefiniskan xⁿ = x^n-1 * x

sehingga untuk 5²⁰¹⁵   ==> 5²⁰¹⁵ = 5^2015-1 * 5

                             ==> 5²⁰¹⁵ = 5²⁰¹⁴ * 5

Perhatikan pola penyelesaian berikut:

Untuk n = 1         ==> 5 = 5 * 1 = 5       (nilai n = 1 digunakan, untuk mencari pola saja)

Untuk n = 2         ==> 5² = 5 * 5 = 4

Untuk n = 3         ==> 5³ = 5² * 5 = 6

Untuk n = 4         ==> 5⁴ = 5³ * 5 = 2

Untuk n = 5         ==> 5⁵ = 5⁴ * 5 = 3

Untuk n = 6         ==> 5⁶ = 5⁵ * 5 = 1

Untuk n = 7         ==> 5⁷ = 5⁶ * 5 = 5

Untuk n = 8         ==> 5⁸ = 5⁷ * 5 = 4

Untuk n = 9         ==> 5⁹ = 5⁸ * 5 = 6

Untuk n = 10       ==> 5¹⁰ = 5⁹ * 5 = 2

Untuk n = 11       ==> 5¹¹ = 5¹⁰ * 5 = 3

Untuk n = 12       ==> 5¹² = 5¹¹ * 5 = 1

Untuk n = 13       ==> 5¹³ = 5¹² * 5 = 5

Untuk n = 14       ==> 5¹⁴ = 5¹³ * 5 = 4

.                  .                .             .

.                  .                .             .

.                  .                .             .

Untuk n = 2015          ==> 5²⁰¹⁵ = 5²⁰¹⁴ * 5 = ....

Berdasarkan pola di atas maka didapat bahwa hasilnya merupakan 6 berulang, yakni selalu berulang dengan angka-angka: 5, 4, 6, 2, 3, 1.

Oleh karena itu hasil dari 5²⁰¹⁵ dapat dicari dengan menentukan sisa pembagi 2015 oleh 6

Sisa pembagi 2015 oleh 6    ≡ 2015 (mod 6)

                                             ≡ 335 × 6 (mod 6) + 5 (mod 6)

                                             ≡ 0 (mod 6) + 5 (mod 6)

                                             ≡ 5 (mod 6)

Karena sisanya 5, maka hasil dari 5²⁰¹⁵ adalah terletak pada pola yang ke-5 yaitu 3

Jadi, 5²⁰¹⁵ = 3

Solusi Alternatif:

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

setiap bilangan bulat n > 1 didefiniskan xⁿ = x^n-1 * x

sehingga untuk 5²⁰¹⁵   ==> 5²⁰¹⁵ = 5^2015-1 * 5

                                    ==> 5²⁰¹⁵ = 5²⁰¹⁴ * 5

Karena 5²⁰¹⁵ mempunyai pangkat ganjil, pola penyelesaian menggunakan perpangkatan ganjil dengan syarat n > 1, yakni sebagai berikut:

Untuk n = 3         ==> 5³ = 5² * 5 =  5 * 5 * 5 = 4 * 5 = 6

Untuk n = 5         ==> 5⁵ = 5⁴ * 5 = 5³ * 5² = 6 * 4 = 3

Untuk n = 7         ==> 5⁷ = 5⁶ * 5 = 5⁵ * 5² = 3 * 4 = 5

Untuk n = 9         ==> 5⁹ = 5⁸ * 5 = 5⁷ * 5² =  5 * 4 = 6

Untuk n = 11       ==> 5¹¹ = 5¹⁰ * 5 = 5⁹ × 5² =  6 * 4 = 3

Untuk n = 13       ==> 5¹³ = 5¹² * 5 = 5⁹ * 5² =  3 * 4 = 5

Untuk n = 15       ==> 5¹⁵ = 5¹⁴ * 5 = 5¹³ * 5² =  5 * 4 = 6

.                  .                .             .

.                  .                .             .

.                  .                .             .

Untuk n = 2015   ==> 5²⁰¹⁵ = 5²⁰¹⁴ * 5 = ....

Berdasarkan pola di atas maka didapat bahwa hasilnya merupakan 3 berulang, yakni selalu berulang dengan angka-angka: 6, 3, 5.

Oleh karena itu hasil dari 5²⁰¹⁵ dapat dicari dengan menentukan sisa pembagi 2015 oleh 3

Sisa pembagi 2015 oleh 3    ≡ 2015 (mod 3)

                                             ≡ 671 × 3 (mod 3) + 2 (mod 3)

                                             ≡ 0 (mod 3) + 2 (mod 3)

                                             ≡ 2 (mod 3)

Karena sisanya 2, maka hasil dari 5²⁰¹⁵ adalah terletak pada pola yang ke-2 yaitu 3

Jadi, 5²⁰¹⁵ = 3

Demikian lampiran Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015 Nomor 1 , semoga kita selalu bisa berbagi, amien.....

--------------------- 

Pelajari juga soal: [Nomor 2], [Nomor 3]