Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2013 Nomor 4

Soal:

Misalkan A, B, dan P adalah paku-paku yang ditanam pada papan ABP. Panjaang AP = a satuan dan BP = b satuan. Papan ABP diletakkan pada lintasan x₁x₂ dan y₁y₂ sehingga A hanya bergerak bebas sepanjang lintasan x₁x₂ dan hanya bergerak bebas sepanjang lintasan y₁y₂ seperti pada gambar berikut. Misalkan x adalah jarak titik P terhadap lintasan y₁y₂ dan y adalah terhadap lintasan x₁x₂. Tunjukkan bahwa persamaan lintasan titik P adalah (x²/b²) + (y²/a²) = 1

 Solusi:

Perhatikan ilustrasi gambar baerikut!

Diketahui AP = a satuan dan BP = b satuan

Untuk menunjukkan bahwa persamaan lintasan titik P adalah (x²/b²) + (y²/a²) = 1

maka perhatikan  △ADP dan △BCP! Kedua segitiga tersebut adalah sebangun, sehingga diperoleh:

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2013 Nomor 3

Soal:

Tentukan semua bilangan asli a, b, dan c yang lebih besar dari 1 dan berbeda, serta memenuhi sifat bahwa abc membagi habis bc + ac + ab + 2

Solusi:

Menurut informasi dari soal dapat dimisalkan bahwa terdapat pertidaksamaan 1 < a < b < c. Karena abc membagi habis bc + ac + ab + 2 itu berarti terdapat bilangan asli k sedemikian sehingga; bc + ac + ab + 2 = k⋅abc ⋯⋯⋯(1)

Dari persamaan (1) diperoleh

Padahal  1 < a < b < c sehingga diperoleh