Soal:
Tentukan semua bilangan asli a, b, dan c yang lebih besar
dari 1 dan berbeda, serta memenuhi sifat bahwa abc membagi habis bc +
ac + ab + 2
Solusi:
Menurut
informasi dari soal dapat dimisalkan bahwa terdapat pertidaksamaan 1 < a < b < c. Karena abc membagi habis
bc + ac + ab + 2 itu
berarti terdapat bilangan asli k sedemikian
sehingga; bc + ac + ab + 2 = k⋅abc ⋯⋯⋯(1)
Dari
persamaan (1) diperoleh
Sehingga
nilai k yang mungkin hanya k = 1. Selain itu jika a ≥ 3 diperoleh
Hal
ini jelas tidak mungkin karena k bilangan asli. Sehingga,
diperoleh a = 2.
Kemudian
substitusikan nilai k = 1 dan a = 2 pada persamaan (1) diperoleh
bc + ac + ab + 2 = k⋅abc ⋯⋯⋯(1)
bc
+ 2b +
2c
+ 2
= 2bc
2b
+ 2c
+ 2
= bc
bc
– 2b – 2c = 2
bc
– 2b – 2c + 4 = 2 + 4
(b
− 2)(c
− 2)
= 6
Oleh
karena itu, untuk nila b dan c ada dua yang mungkin, yaitu
·
b
– 2
= 1
dan c – 2 = 6 sehingga diperoleh b
= 3 dan c
= 8.
·
b
– 2
= 2
dan c – 2 = 3 sehingga diperoleh b
= 4 dan c
= 5.
Mudah
dicek bahwa a = 2, b = 3, c = 8 dan a = 2, b = 4, c = 5 (semuanya
memenuhi).
Jadi, solusi yang memenuhi adalah a = 2, b = 3, c = 8 dan a = 2, b = 4, c = 5 serta semua permutasinya (total ada 12 solusi untuk triple (a, b, c) yang mungkin).-------
Pelajari juga untuk [Nomor 1], [Nomor 2], [Nomor 4], [Nomor 5], [Nomor 6], [Nomor 7], [Nomor 8], [Nomor 9], dan [Nomor 10]
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Unduh juga Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tahun 2014, silahkan Klik:
> Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014 [Bagian A]
> Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014 [Bagian B]
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
> Soal dan Jawaban OSN Guru Matematika SMP 2014
> Soal dan Jawaban OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2014
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tidak ada komentar:
Posting Komentar