Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2013 Nomor 2

Soal:

Diketahui ABC adalah segitiga lancip dengan titik-titik sudutnya terletak pada lingkaran yang berpusat di titik O. Titik P terletak pada sisi BC sehingga AP adalah garis tinggi segitiga ABC. 
Jika ∠ABC + 30⁰ ≤ ∠ACB, buktikan bahwa ∠COP + ∠CAB < 90⁰.

Solusi:

Perhatikan ilustrasi gambar baerikut! 

Misalkan ÐOAB = a, ÐOAC = b, dan ÐOBC = c.

Diketahui ∠ABC + 30⁰ ≤ ∠ACB       ==> artinya bahwa a + 30⁰ ≤ b,

                                                          ==> jadi b > a      (terlihat jelas pada gambar)

Perhatikan DABC dan segitiga sama kaki DAOB, DAOC, dan D BOC. Segitiga tersebut mempunyai hubungan sebagai berikut: DABC = DAOB + DAOC + D BOC

Kemudian perhatikan persegi PQOR dan DCPO,

sehingga diperoleh besar ÐCPO = 90⁰ + 45⁰ = 135⁰               ==>  ∠CPO = 135⁰

besar   ∠COP = 180⁰ – (c +   ∠CPO)

                            = 180⁰ – (c + 135⁰)

               ∠COP = 45⁰ – c ..........(1)

Selanjutnya untuk besar      ∠CAB      = 180⁰ – (∠ABC +   ∠ACB)

                                           a + b        = 180⁰ – (a + c + c + b)

                                                           = 180⁰ – (a + b + 2c)

                                           a + b + c  = 90⁰

sehingga;                              ∠CAB      = 90⁰ – c ..........(2)

dari persamaan 1) dan 2) diperoleh:

∠COP +   ∠CAB = 45⁰ – c + 90⁰ – c     ==>   ∠COP +   ∠CAB + 2c – 45⁰ = 90⁰  ........(3)

Dari persamaan 3) jelas bahwa  ∠COP +  ∠CAB < 90⁰  

Jadi, terbukti bahwa ∠COP + ∠CAB < 90⁰.


-------
Pelajari juga untuk [Nomor 1], [Nomor 3], [Nomor 4], [Nomor 5], [Nomor 6], [Nomor 7],  [Nomor 8], [Nomor 9], dan [Nomor 10]


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Unduh juga Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tahun 2014, silahkan Klik: 
> Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014 [Bagian A]

> Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014 [Bagian B] 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
> Soal dan Jawaban OSN Guru Matematika SMP 2014  
> Soal dan Jawaban OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2014 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------