Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2013 Nomor 7

Soal:

Diketahui parabola  y  = ax² + bx + c melalui titik (–3, 4) dan (3, 16), serta tidak memotong sumbu-x. Carilah semua nilai absis yang mungkin untuk titik puncak parabola tersebut.

Solusi::

Diketahui persamaan parabola y  = ax² + bx + c melalui titik (–3, 4) dan (3, 16), diperoleh:

Untuk (–3, 4)    ==> 4 = a(–3)² + b(–3) + c

                          ==> 4 = 9a – 3b + c ..........(1)

Untuk (3, 16)    ==> 16 = a(3)² + b(3) + c

                          ==> 16 = 9a + 3b + c            ..........(2)

Dari persamaan 2) dan 1), diperoleh:

9a – 3b + c = 4

9a + 3b + c = 16

-------------------- –

            –6b = –12

               b = 2                         ..........(3)

sehingga persamaannya menjadi  y = ax² + 2x + c

dari persamaan 3) dan 1) diperoleh

9a – 3b + c = 4         ==> 9a – 3(2) + c = 4        ==> c = 10 – 9a  ..........(4)

Karena diketahui persamaan parabola tersebut tidak memotong sumbu-x, maka berakibat nilai dari a > 0 dan diskrimannya: D < 0,

Untuk D < 0:

b² – 4ac < 0         ==> 2² – 4ac < 0      ==> 4 – 4ac < 0   ==> ac > 1 ..........(5)

Dari persamaan 4) dan 5) diperoleh

c = 10 – 9a          ==> a(10 – 9a) > 1  

                            ==> 10a – 9a² > 1   

                                                             

                            ==> 9a² – 10a + 1 < 0

                                                             

                            ==> (9a – 1)(a – 1) < 0          ==> (9a – 1)(a – 1) = 0

                                                                            Sehingga diperoleh  a = 1/9 dan a = 1

                                          

                                                                 

                                                                 

Selanjutnya: mencari nilai absis dari titik puncak

                                           

Dengan demikian diperoleh (1/9) < a < 1    ==> – 9 < x < –1

Jadi, semua nilai absis yang mungkin adalah {x | – 9 < x < –1}



-------
Pelajari juga untuk [Nomor 1], [Nomor 2], [Nomor 3], [Nomor 4], [Nomor 5], [Nomor 6],   [Nomor 8], [Nomor 9], dan [Nomor 10]


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Unduh juga Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tahun 2014, silahkan Klik: 
> Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014 [Bagian A]

> Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014 [Bagian B] 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
> Soal dan Jawaban OSN Guru Matematika SMP 2014  
> Soal dan Jawaban OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2014 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------