Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2013 Nomor 8

Soal:

Diketahui T.ABC adalah limas segitiga beraturan dengan panjang rusuk 2 cm. Titik-titik P, Q, R, dan S berturut-turut merupakan titik berat segitiga ABC, segitiga TAB, segitiga TBC, dan segitiga TCA. Tentukan volume limas segitiga beraturan P.QRS. (catatan : titik berat suatu segitiga adalah perpotongan ketiga garis berat)

Solusi:

Perhatikan gambar ilustrasi berikut!

Diketahui T.ABC adalah limas segitiga beraturan, sehingga akan berlaku beberapa hal berikut ini!

Perhatikan gambar (b) Garis AU adalah garis berat pada segitiga ABT sama sisi, sehingga D AUB adalah siku-siku di U dan pada garis berat berlaku perbandingan AQ : QU = 2 : 1          ..........(1)

Selanjutnya mencari panjang AQ dengan mencari terlebih dulu panjang AU (Pythagoras)

AU² = AB² – BU²        ==> AU² = 2² – 1²       ==> AU = BD = √3

Sehingga AQ + QU = √3        ..........(2)

Dari persamaan 1) dan 2) diperolah

AQ + QU = √3            ==> AQ + (1/2) AQ = √3        ==> AQ = (2/3)√3

Dimana AQ = BQ = TQ = BR = CR = TR = TA = AS = CS = AP = BP = CP = (2/3)√3

Perhatikan gambar (c) Kemudian mencari tinggi limas (Pythagoras)

TP² = TA² – AP²         ==> TP² = 2² – [(2/3)√3]²   

                                    ==> TP² = 2² – [(2/3)√3]²

                                    ==> TP² = 4 – (4/3)

                                    ==> TP  = (2/3)√6

Sehingga volume limas segitiga beraturan T. ABC yaitu

Volume Limas T.ABC         = (1/3) x (1/2) x AC x BD x TP

                                             = (1/3) x (1/2) x 2 x √3 x (2/3)√6

                                             = (1/3)x √3 x (2/3)√2.√3

                                             = (1/3)x 3 x (2/3)√2

                                             = (2/3)√2

Selanjutnya perhatika gambar c) pada segitiga TPA, dengan persamaan 1) diperoleh

                                                            TS = BP = AQ = (2/3)√3 dan SD = PD = QU =(1/3)√3

Kemudian perhatikan  limas T.ABC dengan P.QRS pada gambar a), keduanya adalah sebangun, sehingga diperoleh:

Jadi, volume limas segitiga beraturan P.QRS adalah (2/81)√2 cm³



-------
Pelajari juga untuk [Nomor 1], [Nomor 2], [Nomor 3], [Nomor 4], [Nomor 5], [Nomor 6], 
[Nomor 7],   [Nomor 9], dan [Nomor 10]


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Unduh juga Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tahun 2014, silahkan Klik: 
> Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014 [Bagian A]

> Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2014 [Bagian B] 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
> Soal dan Jawaban OSN Guru Matematika SMP 2014  
> Soal dan Jawaban OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2014 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------