Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2009 Nomor 2

Soal:

Nilai dari 2009² – 2008² + 2007² – 2006² + 2005² – … + 3² – 2² + 1² adalah ….

Pembahasan:

2009² – 2008² + 2007² – 2006² + 2005² – … + 3² – 2² + 1² (sebanyak 2009 suku)

Operasi bilangan diatas berpola: bilangan ganjil selalu positif dan bilangan genapnya selalu negatif

2009² – 2008² + 2007² – 2006² + 2005² – 2004²… + 5² – 4² + 3² – 2² + 1²

(2009² – 2008²) + (2007² – 2006²) + (2005² – 2004²) + … + (5² – 4²) + (3² – 2²) + 1²

Dengan menggunakan a² – b² = (a – b)(a + b), maka dapat disederhanakan menjadi:

(2009 – 2008)(2009 + 2008) + (2007 – 2006)(2007 + 2006) + (2005 – 2004)(2005 + 2004) + … ....... + (5 – 4)(5 + 4) + (3 – 2)(3 + 2) + 1                  

2009 + 2008 + 2007 + 2006 + 2005 + 2004 + ….. + 5 + 4 + 3 + 2 + 1         (sebanyak 2009 suku)

Dengan cara Gauss dapat disederhanakan menjadi:

(2009 + 1) + (2008 + 2) + (2007 + 3) + (2006 + 4) + (2005 + 5) + ..... + (1004 + 1006)  + 1005

2010 + 2010 + 2010 + 2010 + 2010 + 2010 + ….. + 2010  (sebanyak 1004 suku) + 1005

Sehingga didapat:

2010(1004) + 1005          = 2018040 + 1005

                                        = 2019045

Jadi, Nilai dari 2009² – 2008² + 2007² – 2006² + 2005² – … + 3² – 2² + 1² adalah 2019045




--------------
Pelajari juga untuk: [Nomor 1], [Nomor 3]