Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2012 Nomor 1

Soal:

Jika diketahui himpunan

H = f(x, y)|(x – y)² + x² – 15x + 50 = 0, dengan x dan y bilangan asli},

tentukan banyak himpunan bagian dari H.

Pembahasan:
Misalkan P(x, y) = (x – y)² + x² – 15x + 50, sehingga (x, y) Î H jika dan hanya jika (x, y) adalah solusi dari P(x, y) = 0. Karena (x – y)² ≤ 0 maka agar P(x, y) = 0 haruslah x² – 15x + 50 ≤ 0. Padahal himpunan penyelesaian dari x² – 15x + 50 = (x – 5)(x – 10) ≤ 0 terletak pada interval 5 ≤ x ≤ 10. Dengan mengingat x adalah bilangan asli, maka nilai yang mungkin untuk x adalah 5, 6, 7, 8, 9, 10. Selanjutnya tinggal dicek satu persatu sebagai berikut :

i.  Jika x = 5 atau x = 10, jelas x² – 15x + 50 = 0. Oleh karena itu agar P(x, y) = 0 maka (x – y)² = 0, x = y. Jadi, diperoleh dua solusi yaitu (5, 5) dan (10, 10)

ii.  Jika x = 6 maka diperoleh P(6, y) = (6 – y)² + 6² – 15(6) + 50 = (6 – y)² – 4.

Oleh karena itu, agar P(6, y) = 0 maka haruslah (6 – y)² = 4 , 6 – y = 2 atau 6 – y = –2 , y = 4 atau y = 8. Jadi, diperoleh dua solusi yaitu (6, 4) dan (6, 8)

iii. Jika x = 7 maka diperoleh P(7, y) = (7 – y)² + 7² – 15(7) + 50 = (6 – y)² – 6.

Karena y bilangan asli maka tidak ada nilai y yang memenuhi sehingga diperoleh P(7, y) = 0.

Jadi, untuk kasus ini tidak ada solusi yang memenuhi.

iv. Jika x = 8 maka diperoleh P(8, y) = (8 – y)² + 8² – 15(8) + 50 = (6 – y)² – 6.

Karena y bilangan asli maka tidak ada nilai y yang memenuhi sehingga diperoleh P(8, y) = 0.

Jadi, untuk kasus ini tidak ada solusi yang memenuhi.

v. Jika x = 9 maka diperoleh P(9, y) = (9 – y)² + 9² – 15(9) + 50 = (9 – y)² – 4.

Oleh karena itu, agar P(9, y) = 0 maka haruslah (9 – y)² = 4 , 9 – y = 2 atau 9 – y = –2, y = 7 atau y = 11. Jadi, diperoleh dua solusi yaitu (9, 7) dan (9, 11)

Oleh karena itu himpunan H memiliki 6 anggota yaitu

H = {(5, 5), (6, 4), (6, 8), (9, 7), (9, 11), (10, 10)}.

Jadi, banyak himpunan bagian dari H adalah 2⁶ = 64.

-----------
Pelajari juga: [Nomor 2], [Nomor 3]

Sumber: wing87.files.wordpress.com/2013/07/solusi-osn-smp-2013.pdf‎.