Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2013 Nomor 3

Soal:

Tentukan semua bilangan asli a, b, dan c yang lebih besar dari 1 dan berbeda, serta memenuhi sifat bahwa abc membagi habis bc + ac + ab + 2

Solusi:

Menurut informasi dari soal dapat dimisalkan bahwa terdapat pertidaksamaan 1 < a < b < c. Karena abc membagi habis bc + ac + ab + 2 itu berarti terdapat bilangan asli k sedemikian sehingga; bc + ac + ab + 2 = k⋅abc ⋯⋯⋯(1)

Dari persamaan (1) diperoleh

Padahal  1 < a < b < c sehingga diperoleh

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2013 Nomor 2

Soal:

Diketahui ABC adalah segitiga lancip dengan titik-titik sudutnya terletak pada lingkaran yang berpusat di titik O. Titik P terletak pada sisi BC sehingga AP adalah garis tinggi segitiga ABC. 
Jika ∠ABC + 30⁰ ≤ ∠ACB, buktikan bahwa ∠COP + ∠CAB < 90⁰.

Solusi:

Perhatikan ilustrasi gambar baerikut! 

Misalkan ÐOAB = a, ÐOAC = b, dan ÐOBC = c.

Diketahui ∠ABC + 30⁰ ≤ ∠ACB       ==> artinya bahwa a + 30⁰ ≤ b,

                                                          ==> jadi b > a      (terlihat jelas pada gambar)