Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika Vektor Nasional (OMVN) 2012 Tingkat SMP Nomor 2 (Babak Penyisihan)

Soal:

Perhatikan gambar!

Pada persegi panjang ABCD, diagonal AC dan BD berpotongan di titik E. Suatu lingkaran berjari-jari 1 dan berpusat di E menyinggung sisi AB dan CD. Pada interior persegi panjang tersebut, jika besar sudut ABE adalah 30^o maka luas daerah yang diarsir adalah …

Pembahasan:

Perhatikan gambar berikut ini! 

Diberi pertambahan titik F, G dan H

Diketahui ∠ABE = 30⁰, sehingga besar ∠BAE = 30⁰, ∠AEB = ∠CED = 120⁰, ∠AEH = 60⁰ dan besar∠BEC = ∠AED = 60⁰.

Perhatikan segitiga AHE! Dengan perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku yang salah satu sudutnya 30⁰ maka diperoleh AH = √3

Kemudian Perhatikan segiempat AFGD!

Luas segiempat AFGD = Luas DAED – Luas juring EFG

Luas segiempat AFGD = (¹/₂) . 2 √3 – (¹/₆) π . 1²

Luas segiempat AFGD = √3 – (¹/₆) π

Dengan demikian,

Luas arsiran = Luas Persegi Panjang ABCD – Luas Lingkaran – Luas siempat AFGD

Luas arsiran = 2 . 2√3 – π . 1² – [√3 – (¹/₆)π]

Luas arsiran = 4√3 – π – √3 + (¹/₆)π

Luas arsiran = 3√3 – (⁵/₆)π

Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 3√3 – (⁵/₆)π

-----------------------------------------------------------------
Pelajari Juga: [Nomor 1], [Nomor 3], [Nomor 4], [Nomor 5], [Nomor 6], [Nomor 7], 
[Nomor 8], [Nomor 9], [Nomor 10], dan [Nomor 11 - 20]