Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2010 Nomor 3

Soal:

Diberikan suatu barisan bilangan 1, 5, 6, 25, 26, 30, 31, ... yang terdiri dari barisan bilangan pemangkatan 5  atau  jumlah  bilangan-bilangan  berbeda hasil pemangkatan 5. Perhatikan bahwa 1 = 5°, 6 = 1 + 5, 31 = 1 + 5 + 5², ... Nilai suku ke-100 pada barisan tersebut adalah …

Pembahasan:

Diketahui suatu barisan : 1, 5, 6, 25, 26, 30, 31 , ...

Kemudian kita mencari pola penyelesaian dari deret bilangan pemangkatan 5 dengan terlebih dahulu memisalkan pangkat dari bilangan-bilangan tersebut, yaitu (a, b, c, ….) = 5^a + 5^b + 5^c + … + …., sehingga barisan yang dimaksud dapat dituliskan sebagai berikut:

Kasus 1:

(0) = 5⁰ = 1  , ada 1 suku

Kasus 2:

(1) = 5¹ = 5 ; (0,1) = 5⁰ + 5¹ = 6, ada 2 suku

Kasus 3:

(2), (0, 2), (1, 2), (0, 1, 2), ada 4 suku

Kasus 4:

(3), (0, 3), (1, 3), (0, 1, 3),(2, 3), (0, 2, 3), (1, 2, 3), (0, 1, 2, 3), ada 8 suku

Pola yang terjadi pada banyaknya suku dari kasus 1 s/d 4 adalah : 1 = 2⁰, 2=2¹, 4=2⁴, 8 = 2³

Kasus 5:

(4),……Banyaknya suku ada 2⁴ = 16

Kasus 6:

(5),……Banyaknya suku ada 2⁵ = 32

Kasus 7:

Dari kasus 1 s/d kasus 6 ada sebanyak 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63 suku.

100 – 63 = 37, artinya Untuk mencapai suku ke-100 maka tinggal mencari 37 suku lagi.

Pada tabel di bawah ditunjukkan distribusi ke-37 suku dari kolom 1 s/d 7 yang membentuk pola tertentu sehingga 37 = 1 + 1 + 2 + 4 + 16 + 5

Kolom ke-	1	2	3	4	5	6	7
Banyaknya	1	1 = 20	2 = 21	4 = 22	8 = 23	16 = 24	32 = 25
Suku ke-n	U64	U65	U66 – 67	U68 – 71	U72 – 79	U80 – 95	U96 – 100
Barisan	(6)	(0,6)	(1,6) (0,1,6)	(2,6) (0,2,6) (1,2,6) (0,1,2,6)	(3,6) (0,3,6) (1,3,6) (2,3,6) (0,1,2,6) (0,1,3,6) (0,2,3,6) (0,1,2,3,6)	(4,6) …… …… …… …… …… …… …… (0,1,2,3,4,6)	(5,6) (0,5,6) (1,5,6) (0,1,5,6) (2,5,6)=U100

Jadi, nilai suku ke-100 pada barisan yang dimaksud adalah:

(2,5,6) = 5² + 5⁵ + 5⁶ = 25 + 3125 + 15625 = 18775

-----------------
Pelajari juga: [Nomor 1], [Nomor 2]