Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2011 Nomor 3

Soal:

Jika bilangan bulat x dan y dibagi 4, maka bersisa 3. Jika bilangan x – 3y dibagi 4, maka bersisa....

Pembahasan:
Menurut informasi dari soal bahwa bilangan bulat x dan y dibagi 4, maka bersisa 3, artinya adalah x = 4m + 3 dan y = 4n + 3, dimana m dan n bilangan bulat

Oleh karena itu, sehingga diperoleh:

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2011 Nomor 2

Soal:

Jika f adalah fungsi sehingga f(xy) = f(x – y) dan f(6) = 1, maka f(–2) – f(4) = ...

Pembahasan:
Diketahui fungsi  f(xy) = f(x – y) dan  f(6) = 1

Kemudian mencari pola dari kedua persamaan diatas agar bisa diseledaikan, yakni: 

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2011 Nomor 1

Soal:

Jika x adalah jumlah 99 bilangan ganjil terkecil yang lebih besar dari 2011 dan y adalah jumlah  99 bilangan genap terkecil yang lebih besar dari 6, maka x + y =.....

Pembahasan:

Adapun 99 bilangan ganjil terkecil yang lebih besar dari 2011 adalah 2013, 2015, ... U₉₉

Hal ini merupakan deret aretmatika, sehingga jumlah bilangannya adalah:

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2011 Nomor 3

Soal:

Pada   gambar    berikut   tabung   berisi   air,   tinggi   dan   diameter   tabung    tersebut adalah 18 cm dan 6 cm.  Kemudian ke dalam tabung dimasukkan 3 bola pejal yang identik (sama bentuk) sehingga bola tersebut menyinggung sisi tabung dan air dalam tabung keluar, maka sisa air di dalam tabung adalah ... cm³.

A. 51 π

B. 52 π

C. 53 π

D. 54 π

E. 55 π

Pembahasan: D

Sisa air di dalam Tabung   = Volume Tabung – 3 x Volume Bola

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2011 Nomor 2

Soal:

Menggunakan angka-angka 1, 2, 5, 6 dan 9 akan dibentuk bilangan genap yang terdiri dari lima angka.  Jika tidak ada angka yang berulang, maka selisih bilangan terbesar dan terkecil adalah ...

A. 70820

B. 79524

C. 80952

D. 81236

E. 83916

Pembahasan: E

Diketahui angka 1, 2, 5, 6 dan 9 akan dibentuk bilangan genap yang terdiri dari lima angka dengan tidak ada angka yang berulang, sehingga bilangan yang dimaksud adalah:

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2011 Nomor 1

Soal:

Nilai 1/8! – 2/9! + 3/10! =....

A.      113/10!

B.       91/10!

C.       73/10!

D.      71/10!

E.       4/10!

Pembahasan: C

Dari bentuk operasi 1/8! – 2/9! + 3/10!, dicari terlebih dahulu KPK  dari 8! , 9!, 10! yaitu 10!

Sehingga:

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2010 Nomor 3

Soal:

Diketahui segitiga ABC. Jika titik M terletak di tengah-tengah AC, titik N terletak di tengah-tengah BC, dan titik P adalah sebarang titik pada AB. Tentukan luas segiempat PMCN.

Pembahasan:

Perhatikan gambar berikut!

Dibuat pertambahan garis BM dan NM, selanjutnya kita perhatikan DBMN dan DPMN ! 

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2010 Nomor 2

Soal:

Jika a, b dan c  memenuhi sistem persamaan 

tentukan nilai (a – c)^b.

Pembahasan:

Dari persamaan 1), 2), dan 3) diperoleh:

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2010 Nomor 1

Soal:

Sebuah pecahan disebut Toba-n bila pecahan itu mempunyai pembilang 1 dan penyebut n. Jika A adalah jumlah dari semua pecahan Toba-101, Toba-102, Toba-103, sampai dengan Toba-200, tunjukkan bahwa 7/12 < A < 5/6.

Pembahasan:

Diketahui: Toba-101 =  1/101, Toba-102 = 1/102, Toba-103 = 1/103, .........., Toba-200 = 1/200

Sehingga: A = 1/101 + 1/102 + ....... + 1/200

Kemudian kita mencari pola nilai dari 7/12, yaitu:

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2010 Nomor 3

Soal:

Diberikan suatu barisan bilangan 1, 5, 6, 25, 26, 30, 31, ... yang terdiri dari barisan bilangan pemangkatan 5  atau  jumlah  bilangan-bilangan  berbeda hasil pemangkatan 5. Perhatikan bahwa 1 = 5°, 6 = 1 + 5, 31 = 1 + 5 + 5², ... Nilai suku ke-100 pada barisan tersebut adalah …

Pembahasan:

Diketahui suatu barisan : 1, 5, 6, 25, 26, 30, 31 , ...

Kemudian kita mencari pola penyelesaian dari deret bilangan pemangkatan 5 dengan terlebih dahulu memisalkan pangkat dari bilangan-bilangan tersebut, yaitu (a, b, c, ….) = 5^a + 5^b + 5^c + … + …., sehingga barisan yang dimaksud dapat dituliskan sebagai berikut:

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2010 Nomor 2

Soal:
Jika p = 1/(√14 – √13) dan q = 1/(√14 + √13), maka nilai dari p² + pq + q² adalah …

Pembahasan:

Dari bentuk aljabar p² + pq + q² dipola menjadi,

faktorisasi bentuk selisih kuadrat p² +2pq – pq + q², Sehingga nilai p dan q bisa disubstitusikan ke bentuk aljabar tersebut, yaitu sebagai berikut;

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2010 Nomor 1

Soal:

Jika  f(x) = 3x² + 18x + 28 dan 1² + 2² + 3² + 4² + …….+ (2009)² + (2010)² = A,

maka f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + …+f(2010) = …

Pembahasan:

Diketahui  f(x) = 3x² + 18x + 28 dan 1² + 2² + 3² + 4² + …….+ (2009)² + (2010)² = A

Selanjutnya kita mencari pola penyelesaian dari bentuk soal ini dengan mencari nilai fungsi  dari masing-masing  f(0),  f(1),  f(2),  f(3),  … sampai dengan  f(2010) yang diperoleh dari persamaan fungsi f(x) = 3x² + 18x + 28, kemudian dihubungkan dengan penjumlahan biloangan kuadrat dari 1² + 2² + 3² + 4² + …….+ (2009)² + (2010)² = A, yaitu sebagai berikut:

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2010 Nomor 3

Soal:
n adalah bilangan bulat positif terkecil sehingga 7 + 30n bukan bilangan prima.  Nilai dari 64 –16n + n² adalah...

A.      1

B.       4

C.       9

D.      16

E.       25

Pembahasan: B

Menurut informasi dari soal bahwa n adalah bilangan bulat positif terkecil sehingga 7 + 30n bukan bilangan prima, ini berarti bahwa bentuk dari 7 + 30n adalah bilangan komposit.

Kemudian, untuk mengathui nilai n yang memenuhi, maka kita coba satu-persatu mulai dari bilangan  bilangan bulat positif terkecil, yaitu:

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2010 Nomor 2

Soal:

Jika bilangan ganjil dikelompokkan seperti berikut: {1}, {3,5}, {7,9,11}, {13,15,17,19}, maka suku tengah dari kelompok ke-11 adalah...

A.      21

B.       31

C.       61

D.      111

E.       121

Pembahasan: E

Diketahui bahwa ada suatu bilangan ganjil di kelompokkan menjadi:  {1}, {3, 5}, {7, 9, 11}, {13, 15, 17, 19}, {21, 23, 25, 27, 29}, {31, 33, 35, 37, 39, 41}, {43, 45, 47, 49, 51, 53, 55},......

Berdasarkan kelompok tersebut, maka suku tengahnya dalam kelompok urutan ganjil adalah:

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2010 Nomor 1

Soal:

Garis l melalui titik (–4, –3) dan (3, 4). Jika garis l juga melalui titik (a, b), maka nilai a³ – b³ – 3a²b + 3ab² – 3² = …

A.      23

B.       1.

C.       –1

D.      –28

E.       –31

Pembahasan: D

Suatu garis l yang melalui titik (a, b) dan juga titik (–4, –3) dan (3, 4), hal ini mempunyai arti bahwa x = a, y = b, x₁ = –4, y₁ = –3, x₂ = 3, dan y₂ = 4, dimana persamaannya adalah:

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2009 Nomor 3

Soal:

Perhatikan gambar berikut. Huruf-huruf a, b, c, d, dan e di dalam kotak akan diganti dengan angka-angka dari 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, atau 9, dengan syarat a, b, c, d, dan e harus berlainan. Jika diketahui ae = bd, ada berapa susunan yang mungkin terjadi?

Pembahasan:

Diketahui Huruf-huruf a, b, c, d, dan e di dalam kotak akan diganti dengan angka-angka dari 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, atau 9, dengan syarat a, b, c, d, dan e harus berlainan dan ae = bd

Kemudian kita mencari pasangan persamaan perkalian dari ae = bd  yang mungkin terjadi, yakni:

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2009 Nomor 2 (Disertai Solusi Alternatifnya)

Soal:

Di Indonesia, dahulu dikenal pecahan yang disebut “Pecahan Nusantara”. Pecahan  Nusantara adalah pecahan a/b demikian sehingga a dan b adalah bilangan-bilangan asli dan a < b . Tentukan jumlah semua pecahan nusantara mulai dari pecahan dengan b = 2 sampai dengan b = 1000.

Pembahasan:

Penjumlahan Pecahan Nusantara yang dimaksudkan oleh soal adalah sebagai berikut:

 Kemudian kita mencari pola penyelesaian dari penjumlahan pecahan tersebut, yaitu;

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2009 Nomor 1

Soal:

Sebuah persamaan kuadrat memiliki akar-akar bilangan asli a dan b. Persamaan kuadrat lainnya memiliki akar-akar b dan c dengan a ≠ c . Jika a, b, dan c merupakan bilangan-bilangan prima yang kurang dari 15, ada berapa macam pasangan yang mungkin memenuhi syarat tersebut (dengan syarat koefisien dari suku kuadratnya sama dengan 1)?

Pembahasan:

Misalkan pasangan persamaan kuadrat yang dimaksud adalah

x₁ – (a + b)x + ab = 0

x₂ – (b + c)x + bc = 0

dimana nilai dari a, b dan c adalah {2, 3, 5, 7, 11, 13} dengan a ≠ c

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 2009 Nomor 3

Soal:

Dalam sebuah kantong terdapat 5 bola warna putih, 2 bola warna hijau, dan 3 bola warna merah. Akan diambil 3 bola secara satu persatu dengan pengembalian artinya bila bola sudah diambil dikembalikan ke dalam kantong tersebut. Peluang ketiga bola yang terambil berwarna hijau adalah….

Pembahasan:

Banyaknya bola berwarna putih (P) = 5

Banyaknya bola berwarna hijau (H) = 2

Banyaknya bola berwarna merah (M) = 3

Banyaknya bola seluruhnya n(S) = 10

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2009 Nomor 3

Soal:

Diketahui koordinat segiempat ABCD adalah A(0, 0), B(30, 0), C(40, 0), dan D(30, 40). Titik E dan F masing –masing membagi sisi CD dan AC menjadi dua bagian sama panjang. Jika pada segitiga CEF dibuat lingkaran dalam maka koordinat titik pusat lingkaran adalah ….

A.   (5, 35)

B.   (35, 5)

C.   (7 ½, 10)

D.   (10, 7 ½)

Pembahasan: A

Perhatikan ilustrasi gambaarnya berikut:

 Perhatikan segitiga FEC siku-siku di C , dengan Teorema Pythagiras didapat: